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Matemática - Grupos
1 e 3
Prova discursiva realizada no dia 12/12/2002
Questões
1 (valor: 2,5 pontos)
Numa progressão geométrica de sete termos, o primeiro termo é 8, e
o produto dos sete termos é 1. Sendo 8k o segundo termo, encontre k.
Resposta
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Os termos
são: 8, 8k, 8k2, ... , 8k6 e o seu produto
é 87k21 = 1.
Substituindo o número 8 por 23, escreve-se
Logo, 2k = 1 e k = 1/2
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Questões:
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2 (valor: 2,5 pontos)
Dado o sistema
a) Existe uma solução do tipo x = a+1, y = 2a e z = a ?
b) Ache todas as soluções do sistema.
Resposta
a) Substituindo
os valores dados para x, y e z no sistema de equações obtém-se:
a+1+2a-a=1 ou seja a=0
a+1-2a+a=1 ou seja 1=1
-a-1+2a+a=1 ou seja a=1
Logo não existe solução deste tipo.
b) Somando membro a membro as duas primeiras
equações obtém-se x = 1;
Somando membro a membro a primeira e a terceira obtém-se y = 1;
Somando membro a membro a segunda e a terceira obtém-se z = 1;
Logo a única solução é x = 1; y = 1 e z =
1.
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Questões:
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3 (valor: 2,5 pontos)
Seja ABC um triângulo eqüilátero, e seja D um ponto tal que CD
= AD. O ângulo BCD mede 105 graus.
a) Desenhe o quadrilátero ABCD.
b) Ache o ângulo DCA.
c) Calcule a razão BD/AC.
Resposta
a)
b)
Por construção, o ângulo ACB mede 60 graus e o
ângulo BCD mede 105 graus. Logo, o ângulo DCA mede 45 graus.
c)
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Questões:
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4 (valor: 2,5 pontos)
A organizadora de uma festa observa que, se sentasse os convidados
em mesas de três lugares, sobrariam vinte convidados sem lugar. Usando
o mesmo número de mesas com quatro em vez de três lugares, sobrariam
três convidados sem lugar. Qual o número de convidados?
Resposta
Seja c o número de convidados e m o número
de mesas.
Na primeira situação teríamos 3m convidados sentados;
logo,
3m + 20 = c.
Na segunda situação, teríamos 4m convidados sentados;
logo,
4m + 3 = c.
Resolvendo esse sistema de equações obtém-se m = 17
e c = 71 |
Questões:
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