Matemática
Prova discursiva realizada no dia 13/12/1999
Enunciado das questões e gabarito.
Só serão aceitas questões com desenvolvimento.
1
(valor: 1,0 ponto)
Considere um hexágono regular H inscrito em um círculo
de raio 1 com seus vértices numerados consecutivamente. Unindo os vértices
ímpares, formamos um triângulo equilátero T. Calcule
a área da região interna a H e externa a T, sabendo
que a área do polígono regular de n lados inscrito no círculo
de raio 1 é igual a
Resposta:
.
2
(valor: 1,0 ponto)
Resolva o sistema
Descreva geometricamente o seu conjunto de soluções.
Resposta:
O conjunto de soluções é a reta
no plano
3
(valor: 1,0 ponto)
Calcule a vigésima potência da matriz .
Resposta:
Continuando assim a resposta é
4
(valor: 1,0 ponto)
A soma de minha idade com as de minhas duas filhas é 64. Eu tenho trinta anos a mais do que uma delas, e a diferença de idade entre as duas é de cinco anos. Sabendo que já fiz quarenta anos, qual a minha idade?
Resposta:
5
(valor: 1,0 ponto)
A diferença entre as raízes do polinômio é 1. Quanto vale a?
Resposta:
,
isto é,
ou
.
6
(valor: 1,0 ponto)
Três números distintos podem estar simultaneamente em progressão aritmética e geométrica? Justifique a sua resposta.
Resposta:
Para eles estarem também em progressão geométrica, precisamos ter
isto é, ,
ou seja,
.
Se os números e
são
distintos então
e eles não podem estar em progressão geométrica.
7
(valor: 1,0 ponto)
No jogo denominado "zerinho-ou-um", cada uma de três pessoas indica ao mesmo tempo com a mão uma escolha de 0 (mão fechada) ou 1 (o indicador apontando), e ganha a pessoa que escolher a opção que diverge da maioria. Se as três pessoas escolheram a mesma opção, faz-se, então, uma nova tentativa. Qual a probabilidade de não haver um ganhador definido depois de três rodadas?
Resposta:
Faz-se uma nova tentativa se o resultado for 000 ou 111.
A probabilidade disto acontecer é 2/8.
.
8
(valor: 1,0 ponto)
Um retângulo de lados a e b, onde b é o menor lado, é tal, que, se cortarmos um quadrado de lado b do interior deste retângulo, o retângulo que sobra tem seus lados na mesma proporção que o retângulo original. Qual o valor da proporção a/b?
Resposta:
O retângulo que sobra tem lado menor igual a (a
– b) e lado maior igual a ;
.
9
(valor: 1,0 ponto)
Considere um cone de altura 4cm e um tronco deste cone de altura 3cm. Sabendo-se que este tronco tem volume 21 cm3, qual o volume do cone?
Resposta:
Seja V o volume do cone. Então, ,
onde
é o volume de um cone semelhante ao cone original (de altura 1). Logo
,
10
(valor: 1,0 ponto)
Para que valores de x vale
?
Resposta:
Temos
.
Como
a equação vale para todo .