Matemática
Prova discursiva realizada no dia 13/12/1999
Enunciado das questões e gabarito.

Só serão aceitas questões com desenvolvimento.


1
(valor: 1,0 ponto)

Considere um hexágono regular H inscrito em um círculo de raio 1 com seus vértices numerados consecutivamente. Unindo os vértices ímpares, formamos um triângulo equilátero T. Calcule a área da região interna a H e externa a T, sabendo que a área do polígono regular de n lados inscrito no círculo de raio 1 é igual a

Resposta:

.


2
(valor: 1,0 ponto)

Resolva o sistema

Descreva geometricamente o seu conjunto de soluções.

Resposta:

O conjunto de soluções é a reta no plano



3
(valor: 1,0 ponto)

Calcule a vigésima potência da matriz .

Resposta:

 

Continuando assim a resposta é



4
(valor: 1,0 ponto)

A soma de minha idade com as de minhas duas filhas é 64. Eu tenho trinta anos a mais do que uma delas, e a diferença de idade entre as duas é de cinco anos. Sabendo que já fiz quarenta anos, qual a minha idade?

Resposta:


5
(valor: 1,0 ponto)

A diferença entre as raízes do polinômio é 1. Quanto vale a?

Resposta:

,

isto é, ou .



6
(valor: 1,0 ponto)

Três números distintos podem estar simultaneamente em progressão aritmética e geométrica? Justifique a sua resposta.

Resposta:

Para eles estarem também em progressão geométrica, precisamos ter

isto é, , ou seja, .

Se os números e são distintos então

e eles não podem estar em progressão geométrica.

 



7
(valor: 1,0 ponto)

No jogo denominado "zerinho-ou-um", cada uma de três pessoas indica ao mesmo tempo com a mão uma escolha de 0 (mão fechada) ou 1 (o indicador apontando), e ganha a pessoa que escolher a opção que diverge da maioria. Se as três pessoas escolheram a mesma opção, faz-se, então, uma nova tentativa. Qual a probabilidade de não haver um ganhador definido depois de três rodadas?

Resposta:

Faz-se uma nova tentativa se o resultado for 000 ou 111.

A probabilidade disto acontecer é 2/8.

.



8
(valor: 1,0 ponto)

Um retângulo de lados a e b, onde b é o menor lado, é tal, que, se cortarmos um quadrado de lado b do interior deste retângulo, o retângulo que sobra tem seus lados na mesma proporção que o retângulo original. Qual o valor da proporção a/b?

Resposta:

O retângulo que sobra tem lado menor igual a (a b) e lado maior igual a ;

.



9
(valor: 1,0 ponto)

Considere um cone de altura 4cm e um tronco deste cone de altura 3cm. Sabendo-se que este tronco tem volume 21 cm3, qual o volume do cone?

Resposta:

Seja V o volume do cone. Então, ,

onde é o volume de um cone semelhante ao cone original (de altura 1). Logo

,



10
(valor: 1,0 ponto)

Para que valores de x vale

?

Resposta:

Temos

.

Como

a equação vale para todo .