Matemática
Prova discursiva realizada no dia 14/12/98
Enunciado das questões e gabarito.
Só serão aceitas questões com desenvolvimento.
1
Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1 cm em que O é
o ponto de encontro das alturas. Quanto mede o segmento AO?
Resposta:
Seja M o ponto médio de AB. O segmento AM mede 0,5cm, enquanto que o ângulo OMA é reto e o ângulo MAO é de trinta graus. Segue-se que AM = AO . cos(30), donde
2
Suponha uma inflação mensal de 4% durante um ano. De quanto será
a inflação acumulada neste ano?
(Pode deixar indicado o resultado)
Resposta:
100 . [(1,04)12 - 1] por cento.
3
Quando o polinômio x2 + x - a tem raízes iguais?
Resposta:
Quando o discriminante 1 + 4a se anular, isto é,
quando a = -0,25.
4
Seja a um número natural tal que 100 é divisor de (100
+ a)3. Então é necessariamente verdadeiro que
100 é um divisor de a? Por que?
Resposta:
Se a = 10 então (100 + a)3 é um múltiplo
de 100. Assim, a resposta é não.
5
Ache a soma dos coeficientes do polinômio (1 - 2x + 3x2 )3.
Resposta:
A soma dos coeficientes de um polinômio f(x) é f(1) A soma dos coeficientes do polinômio em questão é, então,
(1 - 2 + 3)3 = 8.
6
Ache o volume do sólido de revolução obtido rodando um
triângulo retângulo de lados 1, 1 e cm em torno da hipotenusa.
Resposta:
O sólido de revolução é composto de dois cones iguais de
cm
.
7
Ache os valores de a e b para que o sistema
2x + 3y = 6
ax + 5y = b
tenha mais do que uma solução.
Resposta:
Para que o sistema tenha mais do que uma solução a segunda equação deve ser um múltiplo da primeira, e logo devemos ter
8
Quantas soluções de sen(x) + cos(x) = 0 existem
para x entre 0 e 2 ?
Resposta:
Como
não são soluções, o número de soluções
da equação é o mesmo que o número de soluções
da equação tan(x) = -1, que tem 2 soluções entre
0 e
.
9
Ache sete números inteiros consecutivos tais que a soma dos primeiros
quatro seja igual à soma dos últimos três.
Resposta:
Sejam
os sete números. A soma dos quatro primeiros é 4n - 6, enquanto
que a soma dos três últimos é 3n + 6. Donde n = 12.
Qual é o menor número de pessoas num grupo para garantir que, pelo menos, 4 pessoas do grupo nasceram no mesmo mês?
Resposta:
Se não existem quatro pessoas que nasceram no mesmo
mês então o grupo terá no máximo 3 x 12 pessoas,
e logo 37 é o menor tamanho de grupo que garante que existam quatro pessoas
nascidas no mesmo mês.