Matemática
Prova discursiva realizada no dia 14/12/98
Enunciado das questões e gabarito.

Só serão aceitas questões com desenvolvimento.


1

Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1 cm em que O é o ponto de encontro das alturas. Quanto mede o segmento AO?

Resposta:

Seja M o ponto médio de AB. O segmento AM mede 0,5cm, enquanto que o ângulo OMA é reto e o ângulo MAO é de trinta graus. Segue-se que AM = AO . cos(30), donde


2

Suponha uma inflação mensal de 4% durante um ano. De quanto será a inflação acumulada neste ano?
(Pode deixar indicado o resultado)

Resposta:

100 . [(1,04)12 - 1] por cento.


3

Quando o polinômio x2 + x - a tem raízes iguais?

Resposta:

Quando o discriminante 1 + 4a se anular, isto é, quando a = -0,25.


4

Seja a um número natural tal que 100 é divisor de (100 + a)3. Então é necessariamente verdadeiro que 100 é um divisor de a? Por que?

Resposta:

Se a = 10 então (100 + a)3 é um múltiplo de 100. Assim, a resposta é não.


5

Ache a soma dos coeficientes do polinômio (1 - 2x + 3x2 )3.

Resposta:

A soma dos coeficientes de um polinômio f(x) é f(1) A soma dos coeficientes do polinômio em questão é, então,

(1 - 2 + 3)3 = 8.


6

Ache o volume do sólido de revolução obtido rodando um triângulo retângulo de lados 1, 1 e cm em torno da hipotenusa.

Resposta:

O sólido de revolução é composto de dois cones iguais de

cm

.




7

Ache os valores de a e b para que o sistema

2x + 3y = 6
ax + 5y = b

tenha mais do que uma solução.

Resposta:

Para que o sistema tenha mais do que uma solução a segunda equação deve ser um múltiplo da primeira, e logo devemos ter


8

Quantas soluções de sen(x) + cos(x) = 0 existem para x entre 0 e 2 ?

Resposta:

Como não são soluções, o número de soluções da equação é o mesmo que o número de soluções da equação tan(x) = -1, que tem 2 soluções entre 0 e .


9

Ache sete números inteiros consecutivos tais que a soma dos primeiros quatro seja igual à soma dos últimos três.

Resposta:

Sejam os sete números. A soma dos quatro primeiros é 4n - 6, enquanto que a soma dos três últimos é 3n + 6. Donde n = 12.


10

Qual é o menor número de pessoas num grupo para garantir que, pelo menos, 4 pessoas do grupo nasceram no mesmo mês?

Resposta:

Se não existem quatro pessoas que nasceram no mesmo mês então o grupo terá no máximo 3 x 12 pessoas, e logo 37 é o menor tamanho de grupo que garante que existam quatro pessoas nascidas no mesmo mês.