Matemática
Prova discursiva realizada no dia 15/12/98.
Enunciado das questões e gabarito.
Seja a um número real. Para que valores de a o sistema linear
(1+a)x+(1-a)y = 1
(1-a)x+(1+a)y = 1
tem solução? Para quais desses valores a solução é única?
Resposta:
O determinante do sistema é
de forma que para qualquer a ¹ 0 o sistema tem solução única independente da parte não-homogênea. Para a = 0 o sistema é
,
que tem uma infinidade de soluções. Assim, o sistema tem solução para qualquer a, e tem solução única para qualquer a ¹ 0.
Se i for um dos vértices de um hexágono regular centrado na origem, então quais são os outros vértices?
Resposta:
São vértices de um hexágono regular centrado na origem os pontos
ou seja,
,
,
Determine os dois últimos algarismos do número
1 + 2! + 3! + 4! + + 99!
Resposta:
Os dois últimos algarismos de 1!, 2!, , 9! são 01, 02, 06, 24, 20, 20, 40, 20, 80, e os dois últimos algarismos de 10!, 11!, ,99! são 00, de modo que os dois últimos algarismos de 1!+2!+3!+ +99! são 13.
Ache um vetor (x, y, z) em R3 tal que o produto vetorial
(1,1,1) x (x, y, z) seja igual a
(1, 0 , -1).
Resposta:
Este produto vetorial é (z - y, x - z , y - x),
de modo que serve qualquer vetor da forma
(x, x -1 ,x)
Ache números a e b tais que os números 3, a e b estejam em progressão geométrica e os números a, b e 9 estejam em progressão aritmética.
Resposta:
Temos que ter
ou seja,
,
isto é,
.
Dentre os triângulos que têm dois lados medindo 3 cm e 4 cm, qual o que tem a maior área?
Resposta:
A área é maior quando o ângulo entre os dois lados em questão for 90º.
Quantos múltiplos de 6 existem entre 1000 e 2000? Dentre estes, quantos são múltiplos de 8?
Resposta:
1998 é o maior múltiplo de 6 menor do que 2000, e 996 é o maior múltiplo de 6 menor do que 1000, e logo existem (1998 - 996)/6 = 167 múltiplos de 6. Ser múltiplo de 6 e de 8 ao mesmo tempo eqüivale a ser múltiplo de 24. Pelo mesmo raciocínio, o número de múltiplos de 24 entre 1000 e 2000 é (1992 - 984)/24=42.
Quantos divisores o número 6! possui? (Leve em consideração 1 e 6! como divisores).
Resposta:
Temos 6!=6.5.4.3.2 que é
O número de divisores de 6! é então (4+1)(2+1)(1+1)=30.
Obs. Se o candidato considerar, também, os divisores negativos, a resposta será 60.
Quantas apostas de quina são possíveis? (Uma aposta de quina é uma escolha de 5 números entre 1 e 80, inclusive).
Resposta:
Ache dois divisores diferentes, entre 60 e 70, do número
248 - 1.
Resposta:
e, portanto, 63 e 65 são os números procurados.