Matemática
Prova discursiva realizada no dia 15/12/98.
Enunciado das questões e gabarito.

1

Seja a um número real. Para que valores de a o sistema linear

(1+a)x+(1-a)y = 1

(1-a)x+(1+a)y = 1

tem solução? Para quais desses valores a solução é única?

Resposta:

O determinante do sistema é

de forma que para qualquer a ¹ 0 o sistema tem solução única independente da parte não-homogênea. Para a = 0 o sistema é

,

que tem uma infinidade de soluções. Assim, o sistema tem solução para qualquer a, e tem solução única para qualquer a ¹ 0.


2

Se i for um dos vértices de um hexágono regular centrado na origem, então quais são os outros vértices?

Resposta:

São vértices de um hexágono regular centrado na origem os pontos

ou seja,

, ,


3

Determine os dois últimos algarismos do número

1 + 2! + 3! + 4! + … + 99!

Resposta:

Os dois últimos algarismos de 1!, 2!, …, 9! são 01, 02, 06, 24, 20, 20, 40, 20, 80, e os dois últimos algarismos de 10!, 11!,…,99! são 00, de modo que os dois últimos algarismos de 1!+2!+3!+…+99! são 13.


4

Ache um vetor (x, y, z) em R3 tal que o produto vetorial (1,1,1) x (x, y, z) seja igual a
(1, 0 , -1).

Resposta:

Este produto vetorial é (z - y, x - z , y - x), de modo que serve qualquer vetor da forma
(x, x -1 ,x)


5

Ache números a e b tais que os números 3, a e b estejam em progressão geométrica e os números a, b e 9 estejam em progressão aritmética.

Resposta:

Temos que ter

ou seja,

,

isto é,

.


6

Dentre os triângulos que têm dois lados medindo 3 cm e 4 cm, qual o que tem a maior área?

Resposta:

A área é maior quando o ângulo entre os dois lados em questão for 90º.


7

Quantos múltiplos de 6 existem entre 1000 e 2000? Dentre estes, quantos são múltiplos de 8?

Resposta:

1998 é o maior múltiplo de 6 menor do que 2000, e 996 é o maior múltiplo de 6 menor do que 1000, e logo existem (1998 - 996)/6 = 167 múltiplos de 6. Ser múltiplo de 6 e de 8 ao mesmo tempo eqüivale a ser múltiplo de 24. Pelo mesmo raciocínio, o número de múltiplos de 24 entre 1000 e 2000 é (1992 - 984)/24=42.


8

Quantos divisores o número 6! possui? (Leve em consideração 1 e 6! como divisores).

Resposta:

Temos 6!=6.5.4.3.2 que é

O número de divisores de 6! é então (4+1)(2+1)(1+1)=30.

Obs. Se o candidato considerar, também, os divisores negativos, a resposta será 60.


9

Quantas apostas de quina são possíveis? (Uma aposta de quina é uma escolha de 5 números entre 1 e 80, inclusive).

Resposta:


10

Ache dois divisores diferentes, entre 60 e 70, do número

248 - 1.

Resposta:

e, portanto, 63 e 65 são os números procurados.