Matemática
Prova discursiva realizada no dia 04/07/98  das 8:00 às 12:00.
Enunciado das questões e gabarito.

 
1

Se a, n e r são números inteiros positivos tais que a é ímpar e n é par, é possível que a soma dos (n+1) primeiros termos da progressão geométrica, com primeiro termo a e razão r, seja par? Justifique sua resposta.

Resposta:

A soma dos primeiros termos da progrerssão geométrica é

que é sempre ímpar. A soma é sempre par: isto é claro se for par, enquanto que se for ímpar então também o serão, e terá um número par de parcelas ímpares. Assim será sempre ímpar, e, como é ímpar, também o será.


 
2

Seja a um número real entre 0 e 1.Considere os números e responda: qual o menor? qual o maior?

Resposta:

Temos e como vale . Daí segue .


 
3

Qual é a área do hexágono regular inscrito no círculo de raio 1?

Resposta:

O triângulo equilátero de lado 1 tem área, e logo a área do hexágono pedido, que á a união de três triângulos assim, é, .


 
4

Escreva sen(3x) + 4sen3(x) como expressão polinomial em sen(x).

Resposta:

Temos
e logo

.


 
5

Um torneio é disputado entre 32 times e tem, em sua primeira fase, os times divididos em 8 chaves com 4 times cada uma. Para evitar confrontos entre favoritos nessa primeira fase, os oito melhores times são selecionados como cabeças-de-chave: cada um deles é designado para uma chave diferente, e os 24 times restantes são sorteados entre as chaves. Quais as chances de os três piores times serem sorteados em uma mesma chave? Quais as chances de os três piores times serem sorteados na chave do campeão do torneio anterior?

Resposta:

O número de escolhas de chaves é dado por combinações com repetição, e é . O número de escolhas de chaves em que os três piores times ficam em uma chave prescrita é , de modo que a probabilidade de os três piores times serem sorteados na chave do campeão do torneio anterior é .

A probabilidade de os três piores times serem sorteados em uma mesma chave é.


 
6

Se x, y e z são números naturais não-nulos e consecutivos, por que o produto 2x.2y.2z é sempre múltiplo de 48?

Resposta:

Como é múltiplo de 6 temos que é múltiplo de .


 
7

Para que valores de a o sistema

x + y = a
x - y = - a

tem solução com x = 0 ?

Resposta:

Para qualquer valor de . A solução é x = 0 e y = a.


 
8

Para que valores de a o plano em R3 dado pela equação x + y = a contém o ponto (0,0,1)?

Resposta:

Para estar no plano dado por temos que ter .


 
9

Para que valores reais de a o polinômio (x + a)n - (xn + an) admite a como raiz?

Resposta:

Se qualquer valor de é raiz de

Se então avaliado em é , que só é zero quando .


 
10

Sejam v1,...,v8 os vértices de um octógono regular centrado na origem de R2, enumerados consecutivamente a partir de v1=(1,0), no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio. Calcule v1 + v2 + v3 + v4 + v5.

Resposta:

Temos e , de modo que